پاسخ به پوزر نفوذی امروز
اوایل امروز از شما مشکل زیر را در مورد یک شبکه شش ضلعی شبیه به شبکه‌ای که در Blockbusters استفاده می‌شد، پرسیدم.
شبکه همچنین مدلی از نظریه ریاضی نفوذ است – اما بعداً بیشتر از آن.
شبکه زیر یک کاشی کاری شش ضلعی 10×10 از یک لوزی (یعنی شکل الماس) به اضافه یک ردیف بیرونی که مرز لوزی را مشخص می کند را نشان می دهد. ردیف مرزی در بالا سمت راست و پایین سمت چپ به رنگ آبی است، در حالی که ردیف مرزی در بالا سمت چپ و پایین سمت راست سفید است.
اگر هر شش ضلعی در لوزی را آبی یا سفید رنگ کنیم، یکی از این دو اتفاق می افتد. یا مسیری از شش ضلعی های آبی وجود دارد که مرزهای آبی را به هم متصل می کند، مانند اینجا:
یا هیچ مسیری از شش ضلعی های آبی وجود ندارد که مرزهای آبی را به هم متصل کند، مانند اینجا:
در لوزی 100 شش ضلعی وجود دارد. از آنجایی که هر یک از این شش ضلعی ها می توانند سفید یا آبی باشند، تعداد کل پیکربندی های احتمالی شش ضلعی های سفید و آبی در لوزی 2 x 2 x … x 2 صد برابر یا 2 100 است که حدود 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000 است.
در چند مورد از این پیکربندی ها مسیری از شش ضلعی های آبی وجود دارد که مرزهای آبی را به هم متصل می کند؟
راه حل دقیقا 50 درصد.
اثبات بر این بینش مبتنی است که اگر مسیری از شش ضلعی های آبی بین مرزهای آبی وجود داشته باشد، هیچ مسیری از شش ضلعی های سفید بین مرزهای سفید وجود ندارد. و اگر بین مرزهای آبی مسیری از شش ضلعی های آبی وجود نداشته باشد ، بین مرزهای سفید مسیری از شش ضلعی های سفید وجود دارد.
این بینش همان چیزی است که باعث شد Blockbusters به عنوان یک بازی کار کند: شرکت کنندگان یا باید با پاسخ صحیح به سوالات، مسیری از بالا به پایین یا از چپ به راست ایجاد می کردند. غیرممکن بود که یک مسیر چپ به راست و یک مسیر بالا به پایین وجود داشته باشد یا اصلاً مسیری وجود نداشته باشد، به این معنی که تضمین شده بود که فقط یک طرف پیروز می شود.
با این حال بینش کاملاً کافی نیست. همچنین باید ثابت کنید که دقیقاً در نیمی از تنظیمات ممکن، یک مسیر آبی وجود دارد. در اینجا یک راه برای انجام آن وجود دارد. بیایید با برخی از پیکربندی‌ها شروع کنیم، مانند این زیر. این یک مسیر آبی دارد که به مرزهای آبی می پیوندد، و هیچ مسیر سفیدی که به مرزهای سفید می پیوندد.
حالا بیایید همه آبی ها را به سفید و همه سفیدها را به آبی تغییر دهیم.
و در نهایت اجازه دهید آن را برگردانیم، به طوری که بالا سمت چپ تبدیل به پایین سمت چپ، و بالا سمت راست تبدیل به پایین سمت راست می شود:
به عبارت دیگر، ما با پیکربندی شروع کردیم که در آن یک مسیر آبی وجود داشت که مرزهای آبی را به هم متصل می کرد و آن را به پیکربندی تبدیل کردیم که در آن مسیر آبی وجود نداشت که مرزهای آبی را به هم متصل کند. و اگر بخواهیم این روش را تکرار کنیم (رنگ ها را عوض کنید، سپس ورق بزنید) به پیکربندی اصلی باز می گردیم.
از طرف دیگر، فقط بگویید ما با پیکربندی بدون مسیر آبی که مرزهای آبی را به هم وصل می‌کند، شروع کردیم. این بدان معنی است که یک مسیر سفید بین مرزهای سفید وجود دارد. اگر رویه «تغییر رنگ‌ها، سپس تلنگر» را انجام می‌دادیم، پیکربندی ایجاد می‌کردیم که در آن یک مسیر آبی وجود داشت که مرزهای آبی را به هم متصل می‌کرد. و با تکرار این روند به همان جایی که شروع کرده بودیم برمی گشتیم.
بنابراین نتیجه می‌گیریم که هر پیکربندی از لوزی که انتخاب کنیم، این پیکربندی بخشی از یک جفت است: یکی که دارای یک مسیر آبی بین مرزهای آبی است، و دیگری که دارای یک مسیر سفید بین مرزهای سفید است.
(همانطور که در بالا ذکر شد، غیرممکن است که یک پیکربندی یک مسیر آبی بین مرزهای آبی و یک مسیر سفید بین مرزهای سفید داشته باشد.)
اگر پیکربندی‌ها به صورت جفت باشند، تعداد پیکربندی‌های دارای مسیر آبی بین مرزهای آبی باید با تعداد کل پیکربندی‌هایی که انجام نمی‌شوند برابر باشد، بنابراین تعداد با مسیر آبی 50 درصد است. تاداه.
حالا این چه ربطی به بوی قهوه دارد؟
همانطور که در داستان اصلی اشاره کردم، نفوذ یک ناحیه ریاضی است که به چگونگی جریان سیالات در مواد متخلخل مربوط می شود. ریاضیدان فرانسوی هوگو دومینیل کوپن در اوایل این ماه به دلیل کارش در این زمینه، مدال فیلدز، برجسته ترین جایزه ریاضی را به دست آورد.
شبکه شش ضلعی مدلی از یک ماده است و هر سلول آبی مثلاً نشان دهنده وجود شکافی برای نفوذ مایع در آن است. نظریه پردازان نفوذ به سوالاتی مانند چند درصد از تعداد کل پیکربندی های ممکن شبکه دارای مسیرهای آبی هستند؟
همانطور که پازل نشان داد، زمانی که احتمال آبی یا سفید بودن یک شش ضلعی 50/50 باشد، نیمی از تمام تنظیمات دارای مسیر هستند. اما چه اتفاقی می افتد وقتی احتمال آبی بودن یک شش ضلعی را به کمتر یا بیشتر از 50 درصد تغییر دهیم؟ و در مورد معرفی بیش از دو حالت ممکن برای هر شش ضلعی چطور؟ پاسخ به این سؤالات به دانشمندان کمک کرده است تا رفتار انتقال فاز – زمانی که یک ساختار زیربنایی به طور ناگهانی به ساختار دیگری تبدیل می شود – که در فیزیک، زیست شناسی، بوم شناسی و نظریه شبکه کاربرد دارد، درک کنند.
امیدوارم از این پازل لذت برده باشید. دو هفته دیگه برمیگردم
با تشکر از آریل یادین، از دانشگاه بن گوریون در اسرائیل، برای پیشنهاد این پازل.
من هر دو هفته یک بار در روز دوشنبه اینجا یک پازل تنظیم می کنم. من همیشه به دنبال پازل های عالی هستم. اگر می خواهید یکی را پیشنهاد دهید، به من ایمیل بزنید .

source

توسط artmisblog